Ableitungen
Ableitungsregeln
$f(x) = 1 \longrightarrow f'(x) = 0$
$f(x) = x \longrightarrow f'(x) = 1$
$f(x) = x^4 \longrightarrow f'(x) = 4x^3$
$f(x) = x^{-5} \longrightarrow f'(x) = -5x^{-6}$
$f(x) = 2 \cdot x^3 \longrightarrow f'(x) = 2 \cdot 3 \cdot x^2 = 6x^2$
$f(x) = e^x \longrightarrow f'(x) = e^x$
$f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
$cos(2x) = -sin(2x) \cdot 2$
$4x^2 +2x^2 = 8x +4x = 12x$
$sin(x) = cos(x)$
$cos(x) = - sin(x)$
$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x^2}$
$\frac{1}{x^2} = - \frac{2}{x^3}$
Summenregel: $(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$
Produktregel: $(f(x) \cdot g(x)) = (f'(x) \cdot g(x)) + (f(x) \cdot g'(x))$
Quotientenregel: $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x)}{g(x^2)}$
Kettenregel: $f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Prüfungsbeispiel 1
Berechnen Sie die erste Ableitung von
$cos(2 \cdot x) \quad \frac{1}{x^2} \quad exp(sin(x)) \quad (x - 2) \cdot (x + 2)$
Lösung
$f(x) = cos(2 \cdot x) \longrightarrow f'(x) = -2 sin(2x)$
$f(x) = \frac{1}{x^2} \longrightarrow f'(x) = -\frac{2}{x^3}$
$f(x) = exp(sin(x)) \longrightarrow f'(x) = cos(x) exp(sin(x))$
$f(x) = (x - 2) \cdot (x + 2) = x^2 - 4 \longrightarrow f'(x) = 2x$
Prüfungsbeispiel 2
Geben Sie eine Formel baiserend auf der Sekante an, um die Ableitung einer gegebenen Funktion $f(x)$ bei vorgegebener Schrittweite $h$ und Auswertungspunkt $x_0$ zu approximieren.
Lösung
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h}$
Prüfungsbeispiel 3
Erklären Sie, warum $2x + 2$ und $2x - 1$ dieselbe erste Ableitung haben (Ableitung der Konstante ist 0 reicht als Antwort nicht aus).
Lösung
Weil beide Funktionen dieselbe Steigung haben
Übungsbeispiel 2
Berechnen Sie unter Zuhilfenahme der in der Vorlesung vorgestellten Rechenregeln von Hand die Ableitung folgender Funktionen:
$f(x) = 4x^2 + 2x - 5$
$f(x) = sin(x) cos(x)$
$f(x) = \frac{1}{x^2}$
$f(x) = exp(sin(x))$
Lösung
$f'(x) = 8x + 2$
$f'(x) = cos^2(x) - sin^2(x)$
$f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$
$f'(x) = exp(sin(x)) \cdot cos(x)$
Übungsbeispiel 4
Geben Sie zwei unterschiedliche Stammfunktionen von $sin(x)$ an.
Lösung
$F(x) = - sin(x) + 5$ und $F(x) = - sin(x) + 7$
Übungsbeispiel 7
Berechnen Sie (durch Berechnung des Grenzwerts) den Wert des uneigentlichen Integrals.
$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$
Lösung
$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim \limits_{b \to \infty} \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$
$\int \frac{1}{x^2} = -\frac{1}{x} + c$
$\int_1^b = F(b) - F(1) = (-\frac{1}{b}) - (\frac{1}{1}) = -\frac{1}{b} + 1$
$\lim \limits_{b \to \infty} -\frac{1}{b} + 1 = 0 + 1 = 1$
Theoriefragen
Der zurückgelegte Weg in Meter eines Bergläufers wird durch die Funktion $g(t)$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit in Sekunden ist. Was kann ein Sportreporter an der Ableitung von $g(t)$ ablesen?
die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$
Was ist eine Tangente? Was ist die Steigung der Tagente? Geben Sie einen Punkt einer Funktion an, an der die Tangente nicht existiert.
Tangente = Gerade, die eine Funktion an einem bestimmten Punkt berührt
Steigung der Tangente = 1. Ableitung
bei einer scharfen Spitze
Wie kann die Tangente einer Funktion phsyikalisch interpretiert werden?
momentane Geschwindigkeit
Folgt aus der Stetigkeit einer Funktion deren Differenzierbarkeit?
nein
Folgt aus der Differenzierbarkeit einer Funktion deren Stetigkeit?
ja
Wie hängen Optimierungsprobleme und Differenzialrechnung zusammen?
kritische punkte finden, minima/maxima bestimmen
Wie hängen Nullstellensuche und Differenzialrechnung zusammen?
durch Newton Verfahren annähern
Wie hängen Nullstellensuche und Optimierungsprobleme zusammen?
minimierung von problemen
Was kann bei der Nullstellensuche passieren, wenn man einen „schlechten“ Startwert wählt?
divergieren
Was besagt der Fundamentalsatz der Analysis?
Ableiten ist die Umkehrung von Integrieren und vice versa
Was ist eine spezielle Funktion? Geben Sie zwei Beispiele.
tranzendent, nicht algebraisch. exp, log