Integrale

Mithilfe von Integralen kann man die Fläche „unter der Kurve“ berechnen. Es gibt zwei Arten von Integralen:

das bestimmte Integral liefert einen Zahlenwert als Fläche
das unbestimmte Integral liefert eine Formel für die Berechnung der Fläche

Stammfunktion bilden

$\int 0 dx = c$

$\int 4 dx = 4x +c$

$\int x = \frac{x^2}{2} + c$

$\int x^n = \frac{x^n+1}{n+1} + c$

$\int e^x = e^x + c$

$\int \frac{1}{x} = \ln |x| + c$

$\int \sqrt{x} = \frac{2}{3 \cdot \sqrt{x^3}} + c$

$\int sin(x) = -cos(x) + c$

$\int cos(x) = sin(x) + c$

$\int tan(x) = ln(cos(x)) + c$

$\int \ln(x) = -x + x \cdot ln(x) + c$

Übungsbeispiel 1

Berechnen Sie die Approximation der Fläche unter der Funktion $f(x) = x^2$ im Intervall $[0,1]$.

Lösung

$\int_0^1 x^2 dx = \frac{x^3}{x} + c$

$F(b) - F(a) = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{1} = 1$

Übungsbeispiel 3

Berechnen Sie die zurückgelegte Strecke, wenn Sie sich mit einer Geschwindigkeit fortbewegen, die sich durch die Funktion

\[
v : \begin{cases} [0, 120] \rightarrow \mathbb{R} \\ t \rightarrow 25 \cdot sin(\frac{\pi t}{120}) \end{cases}
\]

darstellen lässt. Wenn Sie einen Funktionsgraphen haben, der die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit darstellt, welchem Wert entspricht dann die Fläche unter dieser Kurve?

Lösung

$f'(t) = 25 \cdot sin(\frac{\pi t}{120})$

$\int_{0}^{120} f(t) dt = 25t \cdot - \cos{(\frac{\pi t}{120})} + c$

$F(b) - F(a) = (25 \cdot 120 - \cos{(\frac{\pi 120}{120})}) - (25 \cdot 0 - \cos{(\frac{\pi 0}{0})})$

Die Fläche entspricht der Änderung der Geschwindigkeit im Intervall.

Übungsbeispiel 4

Berechnen Sie die von den beiden Funktionen $f(x) = 2x^2 - \frac{1}{5}$ und $g(x) = -2x^2 + \frac{4}{5}$ eingeschlossene Fläche.

Lösung

1. Schnittmenge berechnen (Integrationsgrenzen)

$2x^2 - \frac{1}{5} = -2x^2 + \frac{4}{5}$

$4x^2 = \frac{5}{5} = 1$

$x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

2. Fläche berechnen

$g(x) - f(x)$

$-2x^2 + \frac{4}{5} - 2x^2 - \frac{1}{5} dx$

$-4x^2 + 1$

Jetzt daraus die Stammfunktion bilden und integrieren:

$\int_{-\frac{1}{2}}^{+\frac{1}{2}} -\frac{4}{3} \cdot x^3 + x + c = \frac{4}{3} x^3 + x$

$F(b) - F(a) = (-\frac{4}{3} \cdot -{\frac{1}{2}}^3 + \frac{1}{2}) - (-\frac{4}{3} \cdot {\frac{1}{2}}^3 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{3}$

Übungsbeispiel 5

Berechnen Sie das Volumen eines Quaders mit der Seitenlänge $S > 0$, indem sie folgende Integrale hintereinander lösen:

$\int_0^S (\int_0^S (\int_0^S 1 \cdot dx) dy) dz)$

Beginnen Sie mit dem innersten Integral. Verwenden Sie zur Integration die Regel $\int 1 \cdot dx = x$.

Lösung

$\int_0^S 1 dx = x + c = x |_0^S = S - 0 = S$

$\int_0^S S dy = S \cdot y|_0^S = S \cdot (S-0) = S^2$

$\int_0^S S^2 dz = S \cdot z |_0^S = S^2 \cdot (S-0) = S^3$

Prüfungsbeispiel

Eine Funktion $f(t)$ für $t > 0$ beschreibt die Menge an Neuschnee in Meter, die pro Stunde fällt (m/h, Argument t in Stunden). Erklären Sie in diesem Zusammenhang was folgender Ausdruck berechnet: $\int_0^3 f(t) dt$

Lösung

Gesamtmenge an Neuschnee in 3 Stunden

Prüfungsbeispiel

Geben Sie den sympy Ausdruck zur Berechnung der Stammfunktion von $f(x) = \frac{1}{x^3}$ sowie den Ausdruck zur Berechnung des Werts des Integrals zwischen 1 und $\infty$ an.

Lösung

integrate(1 / x**3, x)

integrate(1 / x**3, (x, 1, oo))

Theoriefragen

Was ist ein Integral? Erklären Sie anhand einer Skizze.

eine Annäherung zur Berechnung der Fläche „unter der Kurve“ mit uns bekannten Formen

Was bedeutet „infinitesimal“?

unendlich klein

Was ist ein uneigentliches Integral?

zB $\int_0^{\infty}$ oder $\int_{-\infty}^0$