Lineare Abbildungen
Mithilfe von linearen Abbildungen kann man zwischen verschiedenen Koordinatensystemen übersetzen, sofern zwei Bedingungen erfüllt sind:
- beide Koordinatensysteme haben denselben Ursprung
- die Achsen sind Geraden
Wesentliche Eigenschaften von linearen Abbildungen sind:
- Geraden bilden auf Geraden ab
- Seitenverhältnisse auf Geraden ändern sich nicht
- Parallel bleibt parallel
Kanonische Einheitsvektoren
Lineare Abbildungen
Übungsbeispiel 1
Die Basisvektoren $\vec{c_1}$ und $\vec{c_2}$ haben die Koordinaten $\vec{c_1} = (3, −1)_E$ und $\vec{c2} = (−2, 2)_E$ bezüglich der Basis $E = (e1 , e2)$ mit $\vec{e_1} = (1, 0)$ und $\vec{e_2} = (0, 1)$. Der Punkt $R$ hat die Koordinaten $(−1, 2)_N$ bezüglich der Basis $N = {c1 , c2 }$. Berechnen Sie die Koordinaten von $R$ bezüglich der Basis $E = (e1 , e2)$.
Lösung
Vom neuen Koordinatensystem ins alte umrechnen, da wir die Position der beiden Einheitsvektoren $\vec{c1}$ und $\vec{c2}$ im alten Koordinatensystem kennen. Das ist unsere lineare Abbildung bzw. Matrix $A$.
\(
\begin{pmatrix}
3 & -2 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}_E \cdot \begin{pmatrix}
-1 \\ 2
\end{pmatrix}_N = \begin{pmatrix}
-7 \\ 5
\end{pmatrix}_E
\)
Skalierung (Streckung)
Der Einheitsvektor $\vec{x}$ bzw. i-head wird in die Länge gezogen.
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}
1.8 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Scherung
Wo vorher eine 0 stand ist jetzt ein Wert, das lässt auf eine Scherung schließen.
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}
1 & 1.2 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Drehung (Rotation) und Spiegelung
Sobald sin, cos oder pi im Spiel sind, kann man von einer Drehung oder Spiegelung ausgehen.
Ein Beispiel einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn um 90 Grad:
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\)
Drehungen haben eine positive Determinante +1, Spiegelungen eine negative -1:
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\)
Übungsbeispiel 3
Kann jede Spiegelung durch eine Drehmatrix dargestellt werden?
Lösung
Nein, da Spiegelungen ändern die Orientierung
Projektion
Sobald ein Wert zu einer 0 wird, spricht man von einer Projektion. Die ganze Ebene kollabiert sozusagen auf eine Gerade.
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\)
Verschiebung (Translation)
Wenn sich der Nullpunkt verändert, spricht man von einer Verschiebung bzw. Translation. Das ist dann keine lineare Abbildung mehr (sofern man nicht mit einem Nullvektor addiert). Eine lineare Abbildung + eine Verschiebung nennt man affine Abbildung.
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}
0 & 3 \\
1 & 0
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}
\)
Komposition von linearen Abbildungen
Übungsbeispiel 6
Geben Sie zu den beiden linearen Abbildungen
\[
f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
x + 2y \\
5y - z \\
x - y + z
\end{pmatrix}
\]
und
\[
g : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
2x \\
-3y \\
\end{pmatrix}.
\]
die Komposition \( f \circ g \), indem Sie zuerst die beiden Matrizen \( A \) und \( B \) bestimmen, so dass \( f(x) = A \cdot x \) und \( g(x) = B \cdot x \) gilt, um anschließend \( A \cdot B \) zu berechnen.
Lösung
1. Koeffizienten für $A$ und $B$ herauslesen:
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 5 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\]
\[
B = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
2. Matrixmultiplikation
\[
A \cdot B = \begin{pmatrix}
2 & -6 & 0 \\
0 & -15 & 0 \\
2 & 3 & 0
\end{pmatrix}
\]
Theoriefragen
Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Punkt von einem Koordinatensystem in ein anderes transformiert werden kann?
gleicher Ursprung und Achsen sind gerade
Geben Sie die kanonischen Einheitsvektoren an
$\vec{e_1} = (1, 0)$ und $\vec{e_2} = (0, 1)$
Was ist eine Translation? Warum kann diese nicht linear sein?
Verschiebung, weil sie den Nullpunkt verändert
Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung den Nullpunkt festhalten muss
$f(0) = A \cdot 0 = 0$
Was ist eine affine Abbildung?
lineare Abbildung + Translation