Skalarprodukt
Mithilfe des Skalarprodukts lassen sich mehrere Eigenschaften von Vektoren bestimmen:
- die Norm/Länge/Betrag eines Vektors
- der normierte Vektor mit der Länge 1
- (orthogonale) Vektoren und deren Winkel
- den (euklidischen) Abstand zwischen zwei Vektoren
- die Projektion eines Vektors auf einen anderen
Norm/Länge/Betrag eines Vektors
Vektoren normieren (Einheitsvektor)
Orthogonale Vektoren
Zwei Vektoren stehen orthogonal zueinander, wenn deren Skalarprodukt 0 ergibt:
\(
\begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 \\ -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \cdot 2 \\ 2 \cdot -5\end{pmatrix} = 0
\)
Sie zeigen in die selbe Richtung wenn deren Skalarprodukt positiv ist bzw. zeigen in die entgegengesetzte Richtung wenn deren Skalarprodukt negativ ist.
Kreuzprodukt (Vektorprodukt)
Mit Hilfe des Kreuzprodukts bzw. Vektorprodukts können wir auch einen Vektor finden, der auf den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal steht.
Abstand zwischen 2 Vektoren
Winkel zwischen 2 Vektoren
Projektion eines Vektors
Theoriefragen
Was muss eine Verknüpfung erfüllen, damit sie ein Skalarprodukt ist?
bilinear, symmetrisch, positiv definit
Wann sind zwei Vektoren orthogonal?
Wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
Wann ist eine lineare Abbildung orthogonal?
Wenn sie Längen und Winkel beibehält, sprich wenn sich durch sie das Skalarprodukt nicht ändert, also $\vec{v} \cdot \vec{w} = f(\vec{v}) \cdot f(\vec{w})$
Wann ist eine quadratische Matrix orthogonal?
Wenn sie inverse zu ihrer Transponierten ist.
Was ist die Norm eines Vektors und wie kann man diese berechnen?
Die Norm eines Vektors ist die Länge, durch die Wurzel aus den einzelnen Komponenten zum Quadrat
Warum sind orthogonale Matrizen einfach zu invertieren?
Weil man sie lediglich transponieren muss.
Wie berechnet man die Inverse einer orthogonalen Matrix ohne zu Rechnen?
Durch Transponieren
Zeigen Sie, dass die Inverse einer orthogonalen Matrix ihrer Transponierten entspricht.
$A^T \cdot A = E_n = A^{-1} \cdot A$