Folgen
Eine Folge ist eine Funktion, deren Definitionsbereich $\mathbb{N}$ ist. Die einzelnen Funktionswerte nennt man Folgenglieder.
Der Grenzwert ($\lim \limits_{n \to \infty}$) beschreibt den Wert, dem sich die Folgenglieder annähern, wenn $n$ gegen unendlich geht.
Eine Folge konvergiert oder geht gegen eine bestimmte Zahl, wenn sie sich einem bestimmten Grenzwert annähern. Eine Folge kann nur gegen einen Grenzwert konvergieren.
Eine Folge divergiert, wenn sie keinen bestimmten Grenzwert besitzt, dem sie sich annähert. Eine Folge die gegen $\infty$ strebt heißt bestimmt divergent. Bestimmt, weil es in eine Richtung geht.
Eine Folge $(a_n)$ ist:
- monoton steigend, falls $a_{i+1} > a_i$
- monoton fallend, falls $a{i+1} < a_i$
- alternierend, falls $a_{i+1} \cdot a_1 < 0$ (Folgenglieder wechseln ständig ihre Vorzeichen)
- beschränkt, falls $|a_n| \leq M \quad \text{für alle} \, n \in \mathbb{N}$ (Folgenglieder gehen nicht über eine bestimmte Zahl hinaus, zB 42)
Grenzwerte wichtiger Folgen
harmonische Folge (Nullfolge): $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim \limits_{n \to \infty} n^{-1} = 0$
geometrische Folge: $(q^n)$ wobei $q$ eine konstante Zahl ist, ist $|q| < 1$ konvergiert die Folge gegen 0, ist $|q| > 1$ divergiert die Folge.
$(\sqrt[n]{a})$ wobei $a$ eine konstante Zahl ist und $a > 0$ sein muss, konvergiert gegen 1.
$(\sqrt[n]{n})$ kovergiert auch gegen 1, aber langsamer.
$(\frac{n^p}{b^n})$ konvergiert gegen 0, da die Exponentialfunktion „gewinnt“.
$(\frac{b^n}{n!})$ konvergiert gegen 0, da die Fakultät „gewinnt“.
$(1 + \frac{1}{n})^n$ konvergiert gegen die eulersche Zahl $e \approx 2.7$
Grenzwertsätze (Rechenregeln)
$a_n \longrightarrow a \quad b_n \longrightarrow b \quad c \in \mathbb{R} \quad b \neq 0$
$a_n + b_n \longrightarrow a + b$
$a_n - b_n \longrightarrow a - b$
$c \cdot a_n \longrightarrow c \cdot a$
$a_n \cdot b_n \longrightarrow a \cdot b$
$\frac{a_n}{b_n} \longrightarrow \frac{a}{b}$
Übungsbeispiel 3
Verwenden Sie die Grenzwerte wichtiger Folgen sowie die Rechenregeln um die Grenzwerte folgender Folgen für $n \longrightarrow \infty$ zu berechnen.
$(\frac{1}{n^2}) \quad (\sqrt[n]{2^{n+1}}) \quad (1 + \frac{1}{n})^{n+1} \quad (1 + \frac{1}{n})^{2 \cdot n} \quad (\sqrt[n]{n^2})$
Lösung
$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} = 0 \cdot 0 = 0$
$\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^{n+1}} = (2^{n+1})^{\frac{1}{n}} = 2^{\frac{n+1}{n}} = 2^{1 + \frac{1}{n}} = 2^{1+0} = 2$
$\lim \limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n+1} = (1 + \frac{1}{n})^n \cdot (1 + \frac{1}{n}) = e \cdot 1 = e$
$\lim \limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{2 \cdot n} = e^2$
$\lim \limits_{n \to \infty} (\sqrt[n]{n^2}) = (n^2)^{\frac{1}{n}} = n^{\frac{2}{n}} = 1$
Grenzwerte von Quotienten von Polynomen
Übungsbeispiel 4
Bestimmen Sie die Grenzwerte folgender Folgen, indem Sie zuerst Zähler und Nenner durch entsprechende Potenzen von $n$ dividieren und anschließend die Rechenregeln und Grenzwerte wichtiger Folgen verwenden:
$(\frac{3n^2 + 2n + 1}{5n^2 + 4n + 2}) \quad (\frac{3n^2 + 2n + 1}{-3n^2 + 5n^2 + 4n + 2}) \quad (\frac{2n^3 + 5n^2 + 4n + 2}{3n^2 + 2n + 1})$
Lösung
$(\frac{3n^2 + 2n + 1}{5n^2 + 4n + 2}) = \frac{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{5 + \frac{4}{n} + \frac{2}{n^2}} = \frac{3 + 0 + 0}{5 + 0 + 0} = \frac{3}{5}$
$(\frac{3n^2 + 2n + 1}{-3n^2 + 5n^2 + 4n + 2}) = \frac{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{-3 + 5 + \frac{4}{n} + \frac{2}{n^2}} = \frac{3 + 0 + 0}{-3 + 5 + 0 + 0} = \frac{3}{2}$
$(\frac{2n^3 + 5n^2 + 4n + 2}{3n^2 + 2n + 1}) = \frac{2 + \frac{5}{n} + \frac{4}{n^2} + \frac{2}{n^3}}{\frac{3}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}} = \frac{2 + 0 + 0 + 0}{0 + 0 + 0} = \infty$
Theoriefragen
Was bedeutet es, dass eine Folge $(a_n)$ gegen die Zahl $a$ konvergiert?
Dass sich die Folgenglieder an $a$ annähern, wenn $n$ gegen unendlich strebt.
Welche Bedingung ist notwendig, dass folgende Rechenregeln für die Folgen $a_n$ und $b_n$ gelten kann:
$b \neq 0$
Warum kann eine Folge nur gegen einen Wert konvergieren?
weil sich eine Folge nur an einen Wert annähern kann
Was ist $\frac{1}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ bzw. $\frac{1}{\infty}$?
nicht definiert
Was ist an folgender Rechnung falsch (und wird daher bei der Prüfung auch keine Punkte geben)? $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{2}{n} = \frac{2}{\infty} = 0$
$\frac{2}{\infty} \neq 0$