Matrizen
Eine Matrix wird mit fettgedruckte Großbuchstaben geschrieben und hat folgende Eigenschaften:
- als Komponenten werden die einzelnen Elemente bezeichnet
- die Hauptdiagonale besteht aus den Komponenten $A_{1,1}, A_{2,2}, A_{3,3}$ …
- der Typ beschreibt die Größe einer Matrix aus Zeilen und Spalten
Matrixaddition
Matrizen werden komponentenweise addiert:
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}\quad\quad
B = \begin{pmatrix}
11 & 12 & 13 \\
14 & 15 & 16 \\
17 & 18 & 19
\end{pmatrix}
$$
$$
A + B = \begin{pmatrix}
12 & 14 & 16 \\
18 & 20 & 22 \\
24 & 26 & 28
\end{pmatrix}
$$
Skalare Multiplikation
Matrixmultiplikation
Für jeden Eintrag des Produktes betrachtet man nun die auf ihn zeigende Spalte des oberen Faktors sowie die auf ihn zeigende Zeile des linken Faktors. Die entsprechenden Einträge werden paarweise miteinander multipliziert und die Produkte werden am Ende aufsummiert.
- Multiplizieren kann man nur dann, wenn die Spaltenzahl links und die Zeilenzahl oben übereinstimmen, wenn man also oben links quasi ein Quadrat hat.
- die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ $A \cdot B \neq B \cdot A$
- das Produkt einer Matrixmultiplikation hat soviel Zeilen wie A und Spalten wie B
Nullmatrix
Neutrales Element bzgl. der Matrixaddition. Der Typ richtet sich nach der jeweiligen Matrix mit der man addiert.
$$\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$$
Einheitsmatrix
Neutrales Element bzgl. der Matrixmultiplikation. Der Typ richtet sich nach der jeweiligen Matrix mit der man multipliziert.
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
Lediglich in der Hauptdiagonale stehen Einsen. Bei der Multiplikation mit der Einheitsmatrix ist außerdem darauf zu achten ob die Rechenregeln eingehalten werden. Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix müssen mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen.
Matrix-Vektor-Produkt
Matrizen können auch mit Vektoren multipliziert werden, sofern die Rechenregeln eingehalten werden.
$$\begin{pmatrix}
3 & 4 & 5 \\
6 & 7 & 8
\end{pmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}26 \\ 41\end{bmatrix}$$
Transponieren von Matrizen
Spiegeln der Matrix an der Hauptdiagonale bzw. Vertauschen von Zeilen und Spalten.
Theoriefragen
Was ist eine quadratische Matrix
eine Matrix mit gleich viel Zeilen wie Spalten
Geben Sie $E_3$ an
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
Ist die Matrixmultiplikation kommutativ?
Nein
Was ist die Hauptdiagonale einer Matrix?
$a_{1,1}, a_{2,2}, a_{3,3}$ …
Wie wird eine Matrix transponiert?
indem Zeilen und Spalten vertauscht werden bzw. die Hauptdiagonale gespiegelt wird
Welche Bedingung müssen zwei Matrizen erfüllen, damit sie multipliziert werden können?
die Anzahl der Spalten der ersten Matrix muss mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen
Wie multipliziert man zwei Matrizen?
Zeilen von A mit Spalten von B multiplizieren und davon die Summen bilden