Eigenwerte und Eigenvektoren
Ein Eigenvektor ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert, wobei man den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung bezeichnet.
Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht.
Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen
Theoriefragen
Was ist ein Eigenvektor, was ist ein Eigenwert? Wie können diese geometrisch interpretiert werden?
ein Vektor der nur skaliert wird, ein Wert (Skalar) der angibt um wieviel skaliert wird, als Streckung oder Stauchung
Welche Gleichung müssen Sie lösen, um die Eigenwerte einer Matrix $A$ zu berechnen?
$det(A - \lambda I) = 0$
Wie können Sie bei gegebener Matrix $A$ und deren Eigenwerten die Eigenvektoren berechnen?
$(A - \lambda I) \vec{v} = 0$
Was ist das charakteristische Polynom einer Matrix?
ein Polynom, dessen Wurzeln die Eigenwerte der Matrix sind und das durch $det(A - \lambda I)$ definiert ist
Was beschreibt die lineare Abbildung $A \cdot x$ wenn $x$ ein Eigenvektor der Matrix $A$ ist?
einen Vektor der nur skaliert wird