Inverse Matrizen und Determinanten
Die inverse Matrix ist das inverse Element bzgl. der Matrixmultiplikation, also der Kehrwert, der das neutrale Element der Multiplikation, die Einheitsmatrix ergeben soll. Inverse existieren nur für quadratische Matrizen. Matrizen zu denen es Inverse gibt, nennt man invertierbar oder regulär. Eine Matrix die nicht regulär ist, wird singulär genannt.
Falls es zu Matrix $A$ eine Matrix $B$ gibt, für die $A \cdot B = E_n = B \cdot A$ (kommutiert) gilt, ist $B$ die inverse Matrix zu $A$ und man schreibt sie als $A^{-1}$.
Eine invertierbare Matrix bedeutet, dass jedes Lineare Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix $A$ eine eindeutige Lösung hat.
Die Existenz einer Inversen lässt sich durch die Determinante $\neq 0$ belegen.
Die Determinante einer Matrix ist das orientierte Volumen (Fläche).
Inverse einer Matrix berechnen
Die Inverse einer Matrix lässt sich mit dem Gauß-Jordan-Verfahren berechnen, indem man die Koeffizientenmatrix auf die Zeilenstufenform (ZSF) bringt und dieselben elementaren Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix anwendet. Am effektivsten lässt sich das mit dem im Video gezeigten Simultan-Verfahren bewerkstelligen, indem die Umformungen zeitgleich auf beide Matrizen angewendet werden.
Determinante einer Matrix berechnen
Zur Berechnung der Determinanten wird die Regel von Sarrus angewendet, welche für Matrizen vom Typ $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ und $\mathbb{R}^{3 \times 3}$ gelten.
Übungsbeispiel 2
Berechnen Sie die Fläche des Parallelogramms mit den Eckpunkten (2, 1), (7, 4) und (3, 5), indem Sie die Determinante einer passenden 2x2 Matrix berechnen (Tipp: Sie benötigen die Richtungsvektoren des Parallelogramms).
Lösung
Eckpunkte definieren:
$A = (2,1)$
$B = (7,4)$
$C = (3,5)$
Richtungsvektoren bestimmen:
$AB = B - A = (5, 3)$
$AC = C - A = (1,4)$
Matrix bilden:
\begin{pmatrix}
5 & 3 \\
1 & 4
\end{pmatrix}
Determinante bestimmen:
$(5 \cdot 4) - (1 \cdot 3) = 20 - 3 = 17$
Theoriefragen
Wie kann die Determinante der Matrix $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ geometrisch interpretiert werden?
Als Fläche
Warum kann die Determinante einer Matrix $A = (a,b)$ negativ sein, wenn sie doch in $\mathbb{R}^2$ der Fläche des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms entspricht?
Weil es der orientierten Fläche entspricht
Bis zu welcher Größe kann man die Determinante einer Matrix mit der Regel von Sarrus berechnen?
$\mathbb{R}^{3 \times 3}$
Was besagt die „rechte Hand“ Regel?
Gibt Aufschluss über die Orientierung in $\mathbb{R}^3$
Was ist eine reguläre Matrix, was eine singuläre?
reguläre Matrix = invertierbare Matrix, singuläre Matrix hat keine Inverse (nicht invertierbar)
Wie kann überprüft werden, ob die Matrix $B$ die Inverse der Matrix $A$ ist?
$A \cdot B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = B \cdot A$
Was können Sie über die Dimension der Matrix $A$ sagen, wenn $A$ regulär ist?
dass es sich um eine quadratische Matrix handeln muss