Reihen
Eine Reihe ist eine Folge von endlichen Summen. Man schreibt dafür $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$. Die Summen bezeichnet man als Partialsummen der Reihe, die Summanden $a_k$ als Reihenglieder.
Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert. Eine Reihe ist absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge konvergiert.
Übungsbeispiel 3
Welchem allgemeinen Bildungsgesetz unterliegen die folgenden Reihen:
$(a) 1 + \frac{10}{1!} + \frac{100}{2!} + \frac{1000}{3!} + \dots$
$(b) \frac{1}{1 \cdot 2^1} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{5 \cdot 2^5} \dots$
$(c) \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2}+ \frac{5}{2^3} + \frac{7}{2^4} + \dots$
Lösung
$(a) \quad S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{10^n}{n!}$
$(b) \quad S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2^n - 1) \cdot (2^{n-1})}$
$(c) \quad S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n - 1}{2n}$
Quotientenkriterium
Das Quotientenkriterium ist eine Methode, mit der bestimmt werden kann, ob eine Reihe konvergiert.
$\lim \limits_{k \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}|$
Liefert das Quotientenkriterium eine Zahl, die:
- kleiner als 1 ist, so ist die Reihe (absolut) konvergent
- größer als 1 ist, so ist die Reihe divergent
- genau 1 ist, so entspricht das keiner Aussage
Übungsbeispiel 8
Geben Sie ohne Zuhilfenahme elektronischer Hilfsmittel die Logarithmen $\log_{10} 10000$ sowie $\log_2 32$ an.
Lösung
$\log_{10} 10000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 4$
$\log_2 32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 5$
Übungsbeispiel 9
Berechnen Sie $\log_{100} 1000$ indem Sie einen Basiswechsel in die Basis 10 durchführen sowie $log_4 16$ mit einem Basiswechsel in die Basis 2.
Lösung
$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$
$\log_{100} 1000 = \frac{\log_{10} 1000}{\log_{10} 100} = \frac{3}{2}$
$\log_2 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 4} = \frac{4}{2}$
Theoriefragen
Was ist eine Reihe?
eine Folge von endlichen Summen
Was ist eine konvergente Reihe? Nennen Sie ein Beispiel für eine konvergente und eine nicht konvergente Reihe.
wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert
$\sum_{n=0}^{\infty} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \dots$
$\sum_{n=0}^{\infty} 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \dots$
Was ist das Quotientenkriterium?
eine Methode mit der bestimmt werden kann ob eine Reihe konvergiert
Was ist die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion?
$exp(w + z) = exp(w) \cdot exp(z)$
Was ist die Logarithmusfunktion zu einer Basis b?
Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion
Wenden Sie die natürliche Logarithmusfunktion $ln(x)$ bei folgender Gleichung auf beiden Seiten für $a > 0$ an und vereinfachen Sie $a^n = exp(x^2)$.
$a^n = exp(x^2) \quad \ln{a^n}= \ln{exp(x^2)} \quad n \cdot \ln{a} = x^2$