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Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mehreren Gleichungen, die allesamt eine wahre Aussage ergeben müssen. Aus der Schule kennen wir bereits folgende Lösungsverfahren:

  • das allgemeine Eliminationsverfahren (Additionsverfahren)
  • das Substitutionsverfahren (Ersetzungsverfahren)
  • das Komparationsverfahren (Gleichsetzungsverfahren)

 

Das Gausche Eliminationsverfahren

Beim gauschen Eliminationsverfahren geht man wie folgt vor:

  1. die erweiterte Koeffizientenmatrix bilden und in Zeilenstufenform (ZSF) bringen
  2. die Gleichung durch Rückwärts-Einsetzen lösen

Die Lösungsmenge kann bestehen aus:

  1. genau einer Lösung (Schnittpunkt der Geraden)
  2. unendlich vielen Lösungen (identische Geraden, die aufeinander liegen)
  3. keiner Lösung (parallele Geraden)

Das Gauß-Jordan-Verfahren

Statt dem Rückwerts-Einsetzen kann man auch das Gauß-Jordan-Verfahren verwenden um mit elementaren Zeilenumformungen (EZ) auf die Einheitsmatrix zu kommen. Dadurch kann man dann die jeweiligen Unbekannten einfach „ablesen“. Außerdem wird das Gauß-Jordan-Verfahren verwendet um inverse Matrizen zu berechnen.

Theoriefragen

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine Gleichung mit einfachen Ausdrücken bestehend aus Koeffizienten und Variable in der Form $ax + by + cz = 123$.

Geben Sie Beispiele für eine nicht-lineare Gleichung an.

$x^2 + 3x = 0$, $e^x = 10$, $sin(x) + cos(x) = 1$

Wann ist eine Matrix in Zeilenstufenform (ZSF)?

Wenn ihre Leitkoeffizienten mit jeder Zeile nach rechts rücken

Welche 3 Fälle können für die Lösungsmenge eines LGS auftreten?
  1. eindeutige Lösung
  2. unendlich viele Lösung
  3. keine Lösung
Was ist der Leitkoeffizient?

je Zeile das erste Element das nicht Null ist

Was ist das Pivotelement?

Das Element, das für die elementare Zeilenumformung (EZ) herangezogen wird.